La numeración árabe
J.J. O´Connor y E.F. Robertson
Tomado de: http://ciencia.astroseti.org
La numeración india forma la base de los sistemas numéricos europeos que se usan actualmente. Sin embargo no se transmitieron directamente de la India a Europa sino que fueron en primer lugar a los pueblos árabes/islámicos y de ellos a Europa. La historia de esta transmisión no es, no obstante, sencilla. Las partes oriental y occidental del mundo árabe vieron desarrollos separados de la numeración india con relativa poca interacción entre las dos. Por la parte oeste del mundo árabe nos referimos al norte de áfrica y España. La transmisión a Europa fue a través de esta ruta árabe occidental, entrando en Europa primero a través de España.
Hay otras complicaciones en la historia, sin embargo, no fue tan sólo que los árabes se apropiaran del sistema numérico indio. Se emplearon simultáneamente sistemas de numeración bastante diferentes en el mundo árabe durante un largo período de tiempo. Por ejemplo, había al menos tres diferentes tipos de aritmética usados en los países árabes en el siglo XI: un sistema derivaba de contar con los dedos con las cifras escritas completamente con palabras, esta aritmética de contar con los dedos era el sistema utilizado por la comunidad de los comerciantes; el sistema sexagesimal con cifras señaladas con letras del alfabeto árabe y la aritmética de la numeración india y las fracciones con el sistema del valor de la posición de los decimales.
La primera señal de que la numeración india se movía hacia el oeste viene de una fuente que precede al surgimiento de las naciones árabes. En 662 d.C., Severus Sebokht, un obispo nestoriano que vivía en Keneshra, junto al éufrates, escribió:
Omitiré toda discusión sobre la ciencia de los indios, ..., de sus sutiles descubrimientos en astronomía, descubrimientos que son más ingeniosos que aquellos de los griegos y los babilonios, y de sus valiosos métodos de cálculo que superan toda descripción. Solo diría que esta compilación está hecha por medio de nueve signos. Si aquellos que creen, porque hablan griego, que han llegado a los límites de la ciencia, leyeran los textos indios, se convencerían, incluso antes del final del día, que hay otros que saben algo de valor. |
Este pasaje indica claramente que el conocimiento del sistema de numeración india era conocido en tierras que pronto llegarían a ser parte del mundo árabe al inicio del siglo VII. El mismo pasaje, por supuesto, sugiere también que poca gente en esa parte del mundo sabía algo del sistema. Severus Sebokht, como obispo cristiano, habría estado interesado en calcular la fecha de la Pascua (un problema de las iglesias cristianas durante cientos de años). Esto pudo haberle animado a hacer averiguaciones sobre los trabajos astronómicos de los indios y en estos, por supuesto, él encontraría la aritmética de los nueve símbolos.
Hacia 776 d.C. el imperio árabe está empezando a tomar forma y tenemos otra referencia sobre la transmisión de la numeración india. Citamos de una publicación de Al-Qifti Cronología de los sabios, escrita hacia el final del siglo XII pero que cita fuentes mucho más tempranas:
...una persona de la India se presentó ante el califa [de Bagdad] Al-Mansur en el año [776 d.C.] el cual estaba muy versado en el método siddhanta de cálculo relativo al movimiento de los cuerpos celestes, y que tenía formas de calcular ecuaciones basadas en la semicuerda [en esencia, lo que conocemos hoy como seno] calculado en medios grados ... Esto está todo contenido en un libro ... del cual él afirmaba haber aprendido el cálculo de la semicuerda en un minuto. Al-Mansur ordenó que este libro fuese traducido al árabe, y que se escribiese un libro, basado en la traducción, para dar a los árabes una sólida base para el cálculo de los movimientos de los planetas ... |
En [1] (en donde se proporciona una cita más larga), Ifrah intenta determinar a qué escrito indio se refiere. él concluye que el escrito que tiene más probabilidades de haber sido es el de Brahmagupta, Brahmasphutasiddhanta (El inicio del Universo) que fue escrito en 628. Independientemente de si Ifrah tiene razón, puesto que todos los textos indios después del Aryabhatiya del autor Aryabhata I usaban el sistema de numeración indio de nueve signos, ciertamente desde este momento los árabes ya disponían de una traducción al árabe de un texto escrito con el sistema de numeración indio.
Se afirma a menudo que el primer texto árabe que explica el sistema de numeración indio fue escrito por Al-Khwarizmi. Sin embargo, existen dificultades que muchos autores tienden a ignorar. El texto árabe está perdido pero una traducción latina del siglo XII, Algoritmi de numero indorum, (en castellano, Al-Khwarizmi en el arte hindú del cálculo) creó la palabra algoritmo que se deriva de su nombre en el título. Desafortunadamente, se sabe que la traducción latina tiene muchos cambios con respecto al original de Al-Khwarizmi (del cual se desconoce hasta el título). El texto latino describe ciertamente el sistema del valor de la posición de los números basados en 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 y 0. El primer uso del valor del lugar del cero en la notación de base posicional se considera que se debe a Al-Khwarizmi en este escrito. La dificultad que surge es que Al-Baghdadi se refiere al árabe original el cual, contrariamente a lo que se pensaba en un principio, parece no ser un trabajo sobre la numeración india sino sobre los métodos de conteo con los dedos. Esto se hace más claro a partir de las referencias de Al-Baghdadi al escrito perdido. Sin embargo las numerosas referencias al libro de Al-Khwarizmi sobre los nueve símbolos indios deben querer decir que él sí escribió dicho trabajo. Aún permanece cierto grado de misterio.
Al principio los árabes usaban los métodos indios en un tablero de polvo. De hecho en la parte occidental del mundo árabe, los números indios se conocían como números Guba (o Gubar o Ghubar) de la palabra árabe para 'polvo'. Se usaba un tablero de polvo porque los métodos aritméticos requerían el movimiento de los números para el cálculo y borrar alguno de ellos a medida que el cálculo avanzaba. El tablero de polvo permitía esto de la misma manera que uno puede usar una pizarra, tiza y un borrador. ¡Cualquier estudiante que haya atendido a clases donde el profesor continuamente cambia y reemplaza partes de las matemáticas a medida que la demostración progresa entenderá la desventaja del tablero de polvo!
Hacia mediados del siglo X, Al-Uqlidisi escribió Kitab al-fusul fi al-hisab al-Hindi que es el libro más antiguo conocido que presenta el sistema indio. En él, Al-Uqlidisi arguye que el sistema tiene valor práctico:
A la mayoría de los aritméticos se les obliga a usarlo en su trabajo: puesto que es sencillo e inmediato, requiere poca memorización, proporciona respuestas rápidas, demanda poco pensamiento ... Por esto, decimos que es una ciencia y práctica que requiere una herramienta tal y como un escritor, un artesano, un caballero necesitan dirigir sus asuntos, puesto que si el artesano tiene dificultad en encontrar lo que necesita para su comercio, él nunca tendrá éxito; para captarlo no hay dificultad, imposibilidad o preparación. |
En la cuarta parte de su libro, Al-Uqlidisi mostraba cómo modificar los métodos de cálculo con los símbolos indios, lo cual había requerido un tablero de polvo, para métodos que podrían ser llevados a cabo con pluma y papel. Ciertamente, el hecho de que el sistema indio requiriese un tablero de polvo había sido uno de los principales obstáculos para su aceptación. Por ejemplo, As-Suli, después de elogiar el sistema indio por su gran simplicidad, escribió en la primera mitad del siglo X:
Los escribas oficiales sin embargo evitan usar [el sistema indio] porque requiere equipamiento [como un tablero de polvo] y ellos consideran que un sistema que no necesita nada salvo los miembros del cuerpo, es más seguro y más apropiado a la dignidad de un líder.
Por lo tanto, el escrito de Al-Uqlidisi es importante ya que intenta quitar uno de los obstáculos para la aceptación de los nueve símbolos indios. También tiene importancia histórica por ser el texto más antiguo que ofrece un tratamiento directo de las fracciones decimales.
A pesar de que muchos eruditos encontraban que calcular con los símbolos indios ayudaba en su trabajo, la comunidad de comerciantes continuó usando su aritmética de dedos durante todo el siglo X. Abu'l-Wafa, quien era él mismo un experto en el uso de los números indios, escribió, no obstante, un texto sobre cómo usar la aritmética de contar con los dedos puesto que éste era el sistema utilizado por la comunidad de comerciantes y el material de enseñanza proporcionado a estas personas tenía que ser escrito usando el sistema apropiado. Daremos un poco de información acerca de los números de letras árabes que están incluidos en el escrito de Abu'l-Wafa.
Los números están representados por letras pero no en orden alfabético. El sistema era conocido como huruf al jumal lo que significaba 'letras para calcular' y también algunas veces como abjad que son los cuatro primeros números (1 = a, 2 = b, 3 = j, 4 = d). Los números del 1 al 9 se representaban mediante letras, luego los números 10, 20, 30, ..., 90 por las siguientes nueve letras (10 = y, 20 = k, 30 = l, 40 = m, ...), luego 100, 200, 300, ..., 900 por las siguientes letras (100 = q, 200 = r, 300 = sh, 400 = ta, ...). Había 28 letras árabes y así quedaba una que era usada para representar 1000.
Los astrónomos árabes usaban una versión en base 60 del sistema de letras árabes. Aunque el árabe se escribe de derecha a izquierda, daremos un ejemplo escribiendo de izquierda a derecha. Un número, como 43º 21' 14', se escribiría como 'mj ka yd' en esta versión en base 60 de las letras 'abjad' para el cálculo.
Un contemporáneo de Al-Baghdadi, hacia inicios del siglo XI, fue Ibn Sina (más conocido en el oeste como Avicena). Conocemos muchos detalles de su vida a partir de su autobiografía. Ciertamente, Avicena fue un niño destacable, con una memoria y una capacidad de aprender que sorprendió a los eruditos que lo conocieron en la casa de su padre. Un grupo de estudiosos de Egipto fue a casa de su padre en 997 cuando Avicena tenía 10 años y le enseñaron la aritmética india. él también cuenta que un vendedor de verduras le enseñó el cálculo indio y el álgebra. Todo esto muestra que hacia el principio del siglo XI el cálculo con los símbolos indios estaba ampliamente extendido y, significativamente, era conocido por un comerciante de verduras.
El primer ejemplo conocido de los números indios en un documento en Europa fue, sin embargo, mucho tiempo antes de Al-Banna. Los números aparecen en el Codex Vigilanus copiado por un monje en España en 976. Sin embargo la mayor parte de Europa no estaba lista en este tiempo para aceptar ideas nuevas de ninguna clase. La aceptación fue lenta, incluso tan tarde como el siglo XV cuando la matemática europea inició su rápido desarrollo que continúa hoy en día. No examinaremos las muchas contribuciones que trajo el sistema de numeración indio a Europa en este artículo pero finalizaremos sólo con un ejemplo que, sin embargo, es muy importante. Fibonacci escribe en su famoso libro Liber abaci publicado en Pisa en 1202:
Cuando mi padre, que había sido nombrado por su país como notario público en la aduana de Bugía [en la actual Argelia] representando a los mercaderes pisanos que allí iban, estaba en el cargo, me convocó a su lado mientras yo era aún un niño, y con la vista puesta en la utilidad y la comodidad futura, quiso que permaneciese allí y recibiese instrucción en la escuela de contabilidad. Allí, cuando había sido introducido en el arte de los nueve símbolos indios a través de una admirable educación, el conocimiento del arte muy pronto me satisfizo sobre todo lo demás y llegué a comprenderlo, por que cualquier cosa era estudiada por el arte en Egipto, Siria, Grecia, Sicilia y Provenza, en todas sus variadas formas. |